Soluzione numerica di equazioni
Il metodo delle corde (o della secante)
algoritmo PhP
caso 1 caso 2 caso 3 caso 4

Questo metodo permette di approssimare le soluzioni di un'equazione f(x) = 0 (o che è lo stesso di calcolare gli zeri della funzione y = f(x) in un intervallo [a, b] alla condizione di saper calcolare la funzione in tutto l'intervallo.

Prima di tutto è necessario separare le soluzioni e cioè individuare gli intervalli nei quali cadono le singole soluzioni. Una volta individuato un intervallo [x1, x2] nel quale cade una soluzione si può passare all'approssimazione della soluzione.

Nel disegno accanto la funzione y=f(x) attraversa l'asse delle x tra x1 e x2. Dei due punti P1 e P2 possiamo calcolare le ordinate y = f(x).

Viene allora naturale l'idea di tracciare il segmento di retta P1-P2 (ovvero la corda o secante) che unisce i due punti; tale segmento incontrerà l'asse delle x per un'ascissa che possiamo prendere come prima approssimazione della soluzione cercata.

Questa approssimazione si può calcolare facilmente determinando l'equazione della retta per due punti e quindi calcolando l'intersezione tra questa retta e l'asse delle x. Si può anzi ricavare la seguente formula iterativa che fornisce l'approssimazione x in funzione delle coordinate dei due punti:

              x2 - x1
x = x1 - y1 -----------
              y2 - y1

Una volta calcolata questa approssimazione x, il procedimento si può iterare, calcolando il valore della y = f(x), sostituendo questo punto a uno dei due precedenti, a seconda dei quattro casi possibili, conducendo una nuova secante, calcolando una seconda approssimazione e così via.

Il procedimento è convergente, nel senso che fissato un margine di errore piccolo quanto si vuole, si troverà sempre una approssimazione per la quale l'errore è minore di tale margine.

Il metodo si traduce facilmente in un algoritmo in un qualsiasi linguaggio di programmazione; si veda p.es. l'algoritmo in Javascript e quello in Php.


Esempi