La retta per due punti

Problema

Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta che li contiene entrambi. Questo è il primo postulato della geometria euclidea. In geometria analitica è possibile determinare l'equazione di tale retta, date le coordinate di due suoi punti. Vale la seguente formula della retta per due punti: 

 (y - y1)     (x - x1)
---------- = -----------
 (y2 - y1)    (x2 - x1)

che è utile nel metodo delle corde e in quello delle tangenti.

Dimostrazione

Sono dati due punti P1(x1; y1) e P2(x2; y2); il fascio di rette per P1 ha equazione: 

y - y1 = m(x  - x1)
che al variare di m dà tutte le rette che passano per P1; tra queste sarà certo la retta cercata; d'altra parte il coefficiente angolare tra P1 e P2 si calcola 
     (y2 - y1)
m = ----------------
     (x2 - x1)
sostituendo m nell'equazione del fascio di rette si ha 
         (y2 - y1)
y - y1 = --------- (x - x1)
         (x2 - x1)
che dividendo ambo i membri per (y2 - y1) diventa: 
 (y - y1)     (x - x1)
---------- = -----------
 (y2 - y1)    (x2 - x1)
che è la classica equazione della retta per due punti. Il problema può anche risolversi usando un sistema lineare come nel seguente esempio.

Esempio

Sono dati i due punti A (-1;+3) e B(+2; +1); l'equazione in forma esplicita della retta è y = mx + n ; imponiamo il passaggio per A, in pratica che sia x = -1 e y=+3 e otteniamo l'equazione 3 = -m +n; analogamente imponendo il passaggio per B si ottiene l'equazione 1 = 2m + n; in definitiva si ha il sistema lineare: 

-m + n = 3
2m + n = 1
che si può risolvere sottraendo la seconda equazione dalla prima 
-3m = 2   e quindi  m = -2/3
Sostituendo ora il valore trovato di m nella prima equazione si ha 
2/3 + n = 3 e quindi n = 7/3
L'equazione della retta è quindi: 
	1	7
y = - ---- x + ----
	3	3