La formula dei trapezi approssima il contorno di una superficie con una linea spezzata, quella formata dai lati obliqui dei trapezi. Quando si tratta di calcolare l'integrale indefinito di una funzione, questa non è certo la soluzione migliore; migliore si rivela l'idea di approssimare il contorno con archi di parabola. È questa l'idea che porta alla formula di Simpson.

Ricordando che la formula dei trapezi è:

Consideriamo nel disegno a destra una formula dei trapezi su tre punti di ascissa x₀, x₁, x₂. L'idea di Simpson è di sostituire la spezzata ABC con l'arco di parabola che passa per i tre punti. In base al teorema di Archimede, l'area del segmento parabolico ABC è esattamente i 4/3 dell'area del triangolo ABC, ossia un terzo in più del triangolo.

È allora sufficiente calcolare l'area del triangolo ABC e quindi la sua terza parte per calcolare la differenza tra la formula di Simpson e quella dei trapezi.

L'area del triangolo è la somma dei due triangoli AMB e BMC, che hanno la stessa base b e la stessa altezza h, dunque è semlicemente bh. Il punto M è il punto medio di AC e avrà quindi ordinata media tra y₀ e y₂. Dunque b è la differenza tra y₁ e la media (y₀+y₂)/2. In definitiva l'area di ABC vale:

     h   
A = ---(2y1 - y0 - y2)
     2  

La differenza da aggiungere alla formula dei trapezi è quindi un terzo di questa formula e quindi in totale la formula di Simpson è:

     h                   h                    h
A = ---(y0 + 2y1 +y2) + ---(2y1 - y0 - y2) = ---(3y0 + 6y1 + 3y2 + 2y1 - y0 - y2)
     2                   6                    6

     h                      h
A = ---(2y0 + 8y1 + 2y2) = ---(y0 + 4y1 + y2)
     6                      3