Il polinomio di Maclaurin di grado n per una generica funzione f(x) è quello che meglio approssima f(x) nei dintorni di x=0; "meglio approssima" qui vuol dire che il polinomio deve coincidere con la funzione e con tutte le sue derivate fino all'ennesima per x = 0; poichè un polinomio di grado n ha (n+1) coefficienti e le condizioni sono appunto (n+1) il problema ammette di regola una sola soluzione; le (n+1) condizioni possono scriversi così:

P(0) = f(0); P'(0) = f'(0); P"(0) = f"(0) ... P⁽ⁿ⁾(0) = f⁽ⁿ⁾(0)

Ma il generico polinomio di grado n e le sue derivate hanno la forma:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
P'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2... + anxn-1
P"(x) = 2a2 + 6a3x... + nanxn-1
P(3)(x) = 6a3 + ... + nanxn-1
...
P(n)(x) = n!an

f(0) = a0
f'(0) = a1
f"(0) = 2a2
f(3)(0) = 6a3
...
f(n)(0) = n!an

e quindi risulta che a₀ = f(0), a₁ = f'(0), a₂ = f"(0)/2, e così via fino al termine ennesimo che è a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n!.

In conclusione il polinomio di Maclaurin di grado n è:

P(x) = f(0) + f'(0)x + f"(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ... + f(n)(0)xn/n!