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Approssimazione polinomiale
Polinomi di Taylor, di MacLaurin

Funzioni come seno, coseno, esponenziale, logaritmo sono trascendenti nel senso che non si possono calcolare con le ordinarie 4 operazioni, salvo casi "fortunati" come sin(30) ...
Si possono però approssimare con tecniche di vario genere. La più semplice è quella di usare un polinomio, la più semplice funzione algebrica, nel senso che si può sempre calcolare.
Occorre definire le condizioni alle quali deve soddisfare un polinomio per essere considerato una "buona" approssimazione della funzione trascendente.
Una soluzione molto semplice è data dal polinomio di Maclaurin.
Il polinomio di McLaurin di grado n di una certa funzione f(x) è quello che ha lo stesso valore della funzione per x = 0 e inoltre la stessa derivata prima per x = 0, la stessa derivata seconda e così via fino alla derivata ennesima.
In questo modo si impongono n+1 condizioni per n+1 incognite (i coefficienti del polinomio) il che vuol dire che avremo un sistema lineare e la soluzione sarà unica!

Un esempio: approssimiamo il coseno

Per esempio proviamo a trovare il polinomio di Maclaurin di grado 2 per la funzione coseno, y = cos(x) le derivate sono come è ben noto
	y' = -sin(x)
	y" = -cos(x)
Il polinomio può allora scriversi nella forma P(x) = a + bx + cx^2;
Le sue derivate sono
	y' = b + 2cx
	y" = 2c
Imponiamo ora che funzione e derivate coincidano per x = 0; dato che cos(0) = 1, anche il polinomio deve valere 1; questo equivale a imporre a + b.0 + c.0 = 1 e quindi abbiamo subito a = 1.
Per x = 0 la derivata -sin(0) = 0, dunque anche la derivata del polinomio deve valere 0; questo equivale a imporre b + 2x.0 = 0, e quindi abbiamo subito b = 0.
Per x = 0 la derivata seconda -cos(0) = -1, dunque anche la derivata seconda del polinomio deve valere 0; questo equivale a imporre 2c = -1, e quindi abbiamo c = -1/2.
In definitiva il polinomio di Maclaurin di 2 grado del coseno è
         1
y = 1 - ---x^2
         2
Con un procedimento del tutto simile si ricava il polinomio di 4 grado del coseno
         1        1
y = 1 - ---x^2 + ---x^4
         2        4!
In generale il polinomio di Maclaurin di grado 2n per il coseno vale
         1        1        1                    1
y = 1 - ---x^2 + ---x^4 - ---x^6 .... +(-1)^n -----x^(2n)
         2        4!       6!                 (2n)!
dove l'espressione (-1)^n indica semplicemente l'alternarsi dei segni.
Su altra pagina si dimostra la forma generale del polinomio di MacLaurin.
Tanto maggiore n, tanto migliore l'approssimazione! Si dimostra anzi che per n tendente a infinito, la formula è esatta, in un certo senso quindi il coseno può vedersi come un polinomio con infiniti termini.
Si noti infine che essendo il coseno una funzione pari, il polinomio di Maclaurin contiene solo termini di grado pari.
N.B. Il polinomio, come sempre in Analisi, va calcolato in radianti non in gradi!

Se invece che x=0 si usa un altro valore di x si hanno i cosiddetti polinomi di Taylor.
L'approssimazione con Taylor e Mclaurin ha il difetto di non essere uniforme; molto buona nelle vicinanze di x0 peggiora all'allontanarsi da questo valore. Si sono allora cercati polinomi che diano un'approssimazione con precisione uniforme in un dato intervallo, i più noti essendo i polinomi di Cebicef.