Il polinomio di Maclaurin fornisce uno strumento per approssimare con un polinomio, la funzione esponenziale $ y = exp(x) $ di un qualsiasi argomento x nelle vicinanze di x = 0 semplicemente imponendo che il valore della funzione $y = exp(x)$ sia uguale a quello del polinomio $ P(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 ... $ e così per tutte le derivate fino all'ennesimo ordine.
Per trovare il polinomio che meglio approssima l'esponenziale seguiamo il seguente procedimento, limitato al quarto grado
| Funzione e derivate | Per x = 0 | Polinomio e derivate | per x = 0 | ...quindi |
|---|---|---|---|---|
| $ y=exp(x) $ | 1 | $ P(x) = a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 ... $ | a | a=1 |
| $ y^{i}=exp(x) $ | 1 | $ P^{i}(x) = b+2cx+3dx^2+4ex^3 ... $ | b | b=1 |
| $ y^{ii}=exp(x) $ | 1 | $ P^{ii}(x) = 2c+6dx+12ex^2 ... $ | 2c | $ c=\frac{1}{2} $ |
| $ y^{iii}=exp(x) $ | 1 | $ P^{iii}(x) = 6d+24ex ... $ | 6d | $ d=\frac{1}{6} $ |
| $ y^{iv}=exp(x) $ | 1 | $ P^{iv}(x) = 24e ... $ | 24e | $ e=\frac{1}{24} $ |
Quindi il polinomio di quarto grado che meglio approssima la funzione esponenziale è:
$$ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} $$
Osservando che i denominatori non sono altro che i fattoriali di n, la formula generale è:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... + \frac{x^n}{n!} + ... $$
Il polinomio è convergente nel senso che per n infinitamente grande la differenza tra polinomio ed esponenziale è infinitamente piccola.
In particolare per x = 1 questo polinomio fornisce un efficiente formula per approssimare il numero $ e $:
$$ e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{n!} + ... $$
Per n = 6 si ha già una discreta (3 decimali esatti) approssimazione di $ e $:
$$ e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} = 2,7180555... $$
Si osservi nelle figure accanto come al crescere del grado aumenti la precisione dell'approssimazione, che resta comunque buona solo nelle vicinanze dell'origine;