Soluzione numerica di equazioni
Il metodo della bisezione
Questo metodo in PhP - metodo delle corde - di Newton.

La bisezione
Grafico

Un metodo molto semplice per approssimare le soluzioni di un'equazione f(x) = 0 (o che è lo stesso di calcolare gli zeri della funzione y = f(x) in un intervallo [a, b]) è quello della bisezione.

Prima di tutto è necessario separare le soluzioni e cioè individuare un intervallo [x1, x2] nel quale vi sia almeno una soluzione, e cioé un intervallo nel quale ci sia un cambiamento di segno della funzione.

Nel disegno accanto la funzione y=f(x) attraversa l'asse delle x tra x1 e x2. Dunque vi è una soluzione tra x1 e x2.

Per restringere il campo la cosa più semplice è quella di dividere in due l'intervallo, calcolando la funzione nel suo punto medio. Dopo di chè si individua in quale delle due metà si verifica ancora un cambiamento di segno: la soluzione si trova di certo in questo nuovo intervallo dimezzato. Il procedimento può ora ripetersi quante volte si vuole fino a ottenere la precisione voluta.

In pratica date x1 e x2, si calcola il valore medio:

     x1 + x2
x = ---------       e quindi   y = f(x)
        2

Il metodo della bisezione ha una convergenza piuttosto lenta; una maggiore velocità si può ottenere con due metodi classici: quello della secante (o regula falsi) e quello della tangente (o di Newton).

Questo algoritmo può facilmente realizzarsi con un qualsiasi linguaggio di programmazione, p.es. C, Pascal. Qui presentiamo una versione in Javascript e una in PhP.


Esempi