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Come esempio di applicazione del metodo di Newton, calcoliamo la radice quadrata di 2, vista come soluzione dell'equazione: x²-2=0.

Per prima cosa si procede alla separazione delle soluzioni, calcolando la funzione x²−2 (che è una parabola, in arancio nel disegno) a intervalli di 1 e a partire da zero (tabella accanto). Il primo cambiamento di segno è tra 1 e 2, dunque in tale intervallo vi sarà uno degli zeri della funzione.

Si può a questo punto tracciare la tangente da uno dei due estremi, qui partiamo da P₀(2;2), applicando la formula (f'(x) qui è 2x):

          f(2)         2         1     3
x = 2 − ——————— = 2 − ——— = 2 − ——— = ——— = 1,5
         f'(2)         4         2     2

A questo valore di x corrisponde sulla parabola il valore di y:

      3  2        9         1
y = (———)  − 2 = ——— − 2 = ——— = 0,25
      2           4         4

Il nuovo punto della parabola è allora (1,5, 0,25) e iterando una seconda volta la formula:

            f(1,5)           0,25        
x = 1,5 − ————————— = 1,5 − —————— = 1,5 − 0,08(3) = 1,41(6)
           f'(1,5)            3         

Alla seconda iterazione abbiamo già un risultato con tre cifre esatte! Per provare il metodo con molte approssimazioni si può utilizzare la pagina con l'algoritmo in Javascript; si noterà che dopo 6 iterazioni il risultato si stabilizza su 1.414213562373095, garantendo quindi sedici cifre significative esatte; un risultato nettamente superiore a quello ottenuto con l'algoritmo delle corde che richiede 22 iterazioni per avere la stessa precisione.